IMPORTANT: Si us voleu donar d'alta, escriviu-nos a wiki@matadejonc.cat

Brahmagupta

De Matawiki
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Braa.jpg.jpg
Images-2-.jpg

Brahmagupta va ser un matemàtic i astrònom indi. Va néixer l'any 598, possiblement a Ujjain, va viure la gran part de la seva vida a Bhillamala a l’imperi de Hasha, que ara es coneix com Bhinmal. Brahmagupta se situa al segle VII, en la dinastia Gurjara, en l’esplendor de la matemàtica Hindú. A Ujjain, aquesta ciutat de la zona central de l'Índia es trobava el mes famós i antic observatori de astronomia del que Brahmagupta era el director i durant el seu comandament va escriure dues obres sobre matemàtiques i astronomia, fou alumne de Aryabhata. Brahmagupta va desenvolupar la seva activitat d’investigació en el nord-est de l’Índia on es concentrava, ja que en aquella època la activitat científica es desenvolupava a l'orient.


Contingut

Obra

  • La seva principal obra es un llibre d’astronomia titulat Brahmasphutasiddhanta(Sistema revisat de Brama) escrit al 628. Aquesta obra la escrita en la ciutat de Bhillamala, actualment Bhinmal.Conte 25 capítols, dels que els 10 primers es dedica a Questions d’astronomia (eclipses de lluna i de sol, la s’ombra de la lluna, conjuncions dels planetes, entre altres) i altres 15 tenen un contingut essencialment matemàtic: aritmètica, geometria, instruments i taules

Un exemple del tipus de problemes que Brahmagupta proposa i resol en el Brahmasphutasiddhanta és el següent: Es van prestar 500 drammas amb una proporció desconeguda d'interès; es va prestar l'interès en els diners durant 4 mesos a un altre a la mateixa proporció d'interès i es va sumar en deu mesos a 78 drammas. Pot dir-nos la proporció d'interès?. També es donen regles per a sumar sèries. Brahmagupta dóna nombres naturals a la suma dels quadrats dels n primers com n(n+1)(2n+1)/6 i la suma de les galledes dels n primers nombres naturals. Això no es realitza així, i nosaltres no sabem com va descobrir Brahmagupta aquestes fórmules.

  • Escrit al 665, quan tenia 67 anys, un segon llibre d’astronomia i matemàtiques titulat Khandalchadyaka
  • Una de les primeres obres fou Hal 9000, homenatge als primers pensaments binaris. Aquella obra va ser seleccionada per formar part de una exposició col•lectiva que, baix el títol d’Anatomies de l’Ànima, que va ser organitzada per la Fundació Miró de Barcelona.
  • El sistema binari apareix més tard amb Leibniz. Amb això ja coneixem l’historia d’aquets simples signes. Un pal i un cercle que formalment son tan simples com els conceptes associats a ells, però amb ells podem formar infinitats de formes i significats
  • El àlgebra la escrivia en forma sincopada, això utilitzant abreviatures amb las primeres síl•labes dels termes que se volen expressar, tals com ``incògnita´´, ``enter´´, segona incògnita,``producte´´, ``irracional´´, ``nombre absolut´´, etc. La incògnita la denominava ``ya´´, abreviatura de ``ya``vatta``vat´´, que significa ``tant com´´

Aportacions a les matemàtiques

  • Les contribucions de Brahmagupta al àlgebra son molt més importants que les seves regles per al càlcul de àrees, ja que se troben aquí, solucions generals d’equacions quadràtiques atribuint les dues arrels en casos en que una de elles fos negativa, de fet, la primera vegada que apareix sistematitzada l’aritmètica dels nombres negatius y del cero es en l’obra de Brahmagupta. Regles essencialment equivalents a las que es controlen en les operacions aritmètiques amb magnituds negatives que apareixien en els teoremes del àlgebra geomètrica dels grecs, però referides sempre a propietats de l’operació de restar, tals com, per exemple

(a-b)x(c-d)=ac+bd-ad-bc

però els hindús tenen el mèrit de haver donat un pas decisiu al convertir aquestes regles en regles pròpiament numèriques en relació del nombres positius i negatius

  • Entre les seves millors contribucions es troba la generalització de la fórmula de Herón de Alexandria per calcular l’àrea de un quadrilàter( ell l’aplicava a triangles). La'expressava així:

A=arrel quadrada[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]

  • Brahmagupta va ser probablement el primer a trobar una solució general a l'equació diofàntica ax + by = c, en la qual a, b i c són sencers. S'obté una solució sencera d'aquesta equació si el màxim comú divisor d'i b divideix també a c. Brahmagupta sabia que quan a i b són primers entre si, totes les solucions vénen donades per x= r- mb; i= s - dt. en les quals m és qualsevol enter. A més, va trobar totes les solucions senceres de l'equació diofàntica, mentre que Diofanto freqüentment es conformava amb trobar una solució.
  • En la geometria algebraica grega es troba l'equivalent de certes relacions numèriques que inclouen nombre negatius com (a+b)x(a-b), (-b)x(b) però la important contribució dels hindús( entre ells Brahmagupta) va consistir a convertir aquestes regles geomètriques en regles numèriques en les quals la quantitat negativa és considerada com un nombre i en les quals el zero també és un nombre. No obstant això, Brahmagupta troba dificultats en la seva aritmètica, que no assoleix dilucidar clarament quan afirma:

Que positiu dividit per positiu, o negatiu dividit per negatiu, és positiu. Zero divideixo per zero no és gens. Positiu dividit per negatiu és negatiu. Negatiu dividit per positiu és negatiu. Positiu o negatiu dividit per zero és una fracció en relació amb el denominador.

Cal dir també que els hindús consideraven igualment com nombres les arrels irracionals d'altres nombres, cosa que no van fer mai, per descomptat, els grecs. Aquest pas va suposar una ajuda enorme per a l'àlgebra, i els matemàtics hindús han estat molt elogiats per decidir-se a adoptar aquesta mesura, però cal recordar, no obstant això, que en aquest cas la contribució hindú va ser el resultat d'una inconsistència lògica més que d'una profunditat matemàtica. Ja s'ha vist que els matemàtics hindús van mancar d'una distinció clara entre els resultats exactes i els inexactes, i en conseqüència era el més natural que no prenguessin en consideració seriosament les diferències profundes entre les magnituds commensurables i les incommensurables. Per a ells no havia cap impediment a acceptar els nombres irracionals, i les generacions posteriors van seguir el seu mateix camí d'una manera alegre i ingènua, fins que en el segle XIX van aconseguir per fi els matemàtics fonamentar el sistema dels nombres reals sobre una base solguda. La matemàtica hindú va consistir, com s'ha dit, d'una barreja de bo i dolent, però part del bé va ser extraordinàriament bo, i referent a això Brahmagupta mereix que no se li regategin elogis.

L'àlgebra hindú és notable especialment pel seu desenvolupament de l'anàlisi indeterminada, al que Brahmagupta mateix va fer diverses contribucions; per a esmentar solament una, apareix en la seva obra una regla llaura la formació de ternes pitagòriques expressada en la forma , encara que aquesta sigui solament una forma modificada de la vella regla babilònica que Brahmagupta va poder molt bé conèixer. La fórmula de Brahmagupta para l'àrea de quadrilàters, comentada més amunt, la utilitzava juntament amb les fórmules i per a les diagonals, per a trobar quadrilàters els costats dels quals, diagonals i àrees anessin tots ells nombres racionals. Entre aquests quadrilàters es construïu el qual té per costats a=52, b=25, c=39 i d=60,i per diagonals 63 i 56. Brahmagupta dóna com ‘àrea bruta’ d'aquest quadrilàter malgrat el fet que en aquest cas la seva fórmula dóna l'àrea exacta 1.764.


  • La teoria de les equacions indeterminades

És evident que Brahmagupta estimava la matemàtica per si mateixa, igual que molts dels seus paisans, ja que cap enginyer amb mentalitat pràctica s'hagués plantejat moltes qüestions tals com les quals es plantejava Brahmagupta cobri els quadrilàters. Cap admirar encara més la seva actitud matemàtica al descobrir que ell va ser el primer que va donar amb una solució general de l'equació lineal diofàntica lineal ax + by = c, amb a, b i c sencers. Perquè aquesta equació tingui solucions senceres, en màxim comú divisor entre a i b ha de dividir a c, i Brahmagupta sabia que si a i b eren primers entre si, llavors totes les solucions de l'equació vénen donades per les fórmules x = p + mb, i i = q – dt., on m és un enter arbitrari. Brahmagupta va estudiar també l'equació diofàntica cuadrática x2 = 1 + py2, que rep erròniament el nom de John Pell i que va aparèixer per primera vegada en el problema dels bous d'Arquimedes.

Aquesta equació de Pell va ser resolta en alguns cas particulars pel matemàtic Bhaskara (1114-1185), hindú menjo Brahmagupta.

Atès que Brahmagupta utilitza en alguns els mateixos exemples que Diofanto, es pot veure de nou reforçada l'evidència d'una influència grega en l'Índia, o bé la possibilitat que ambdós fessin ús d'una font comuna, versemblantment de l'antiga Babilònia. Un detall interessant a subratllar és el qual l'àlgebra de Brahmagupta és sincopada, com la de Diofanto: la suma s'indica per una simple juxtaposició, la resta col•locant un punt sobre el subtrahend, i la divisió escrivint el divisor sota dividend com en la nostra notació per a les fraccions, però sense la barra separadora. Les operacions de multiplicació i de evolució (extracció d'arrels), així com les quantitats incògnites vénen representades per mitjà d'abreviatures de les paraules corresponents.

  • Brahmagupta treballa en 628 les equacions diofàntiques més difícils. Utilitza el mètode chakravala per a resoldre les equacions diofàntiques quadràtiques, incloent aquelles de la forma de l'equació de Pell tal que . La seva Brahma Sphuta Siddhanta va ser traduït a l'àrab en 773 i al llatí en 1126. L'equació va ser proposada com un problema pel matemàtic francès Pierre de Fermat. La solució general d'aquesta forma particular de l'equació de Pell va ser oposada 70 anys més tard per Leonhard Euler, encara que la solució general de l'equació de Pell va ser oposada 100 anys més tard per Joseph-Louis de Lagrange en 1767. No obstant això, diversos segles abans, l'equació de Pell va ser treballada per Bhaskara II en 1150 utilitzant una versió modificada del mètode chakravala de Brahmagupta, trobant la solució general d'altres equacions quadràtiques intermèdies indeterminades i equacions diofàntiques quadràtiques. El mètode chakravala per a trobar la solució general de l'equació de Pell era més simple que el mètode utilitzat per Lagrange 600 anys més tard. Bhaskara troba també la solució d'altres equacions quadràtiques indeterminades, cúbiques, i polinòmiques de majors graus. Narayana Pandit va perfeccionar encara més les altres quadràtiques indeterminades per a les equacions de graus superiors.


Estudis Va estudiar solucions generals de les equacions quadràtiques amb arrels positives i negatives, la aritmètica dels nombres negatius i del cero , i la solució general de una equació diofàntica lineal de tipus ax+by=c, següent a,b,c nombres enters

Grans estudis entorn el nombre Zero.


EL NOMBRE ZERO El zero va ser ideat per Brahmaghupta, juntament amb els àrabs


El zero no intervé en la numeració oral. Quan intervé en la composició d'un nombre es pronuncien solament els altres nombres. Si determinen, sense aparèixer oralment, la condició de xifres cridades rodones, és a dir, deu, vint, cent, mil, milions, etc.


Des dels inicis, els nombres són paraules per a referir-nos a col•leccions d'objectes. Certament la idea de nombre es converteix en més i més abstracta i aquesta abstracció fa possible la consideració del zero i dels nombres negatius, els quals no havien sorgit com propietats de les col•leccions d'objectes. Per descomptat el problema que sorgeix quan s'intenta considerar el zero i els nombres negatius és com interactuen respecte a les operacions aritmètiques (suma, resta, multiplicació i divisió). En tres importants llibres, els matemàtics indis Brahmagupta, Mahavira i Bhaskara van intentar donar resposta a aquestes preguntes.

Brahmagupta va intentar donar les regles per a l'aritmètica tenint en compte el zero i els nombres negatius en el segle setè. Va explicar que, donat un nombre, si ho restes a si mateix obtens el zero. Va donar les següents regles per a la suma que implicaven al zero:

-La suma de zero i un nombre negatiu, és negatiu, la suma d'un nombre positiu i zero és positiu, la suma de zero i zero és zero. -La resta és un poc més complexa:

-Un nombre negatiu restat de zero és positiu, un nombre positiu restat de zero és negatiu, zero restat d'un nombre negatiu és negatiu, zero restat d'un nombre positiu és positiu, zero restat de zero és zero.

Brahmagupta llavors diu que qualsevol nombre multiplicat per zero és zero però té una dificultat amb la divisió:

-Un nombre positiu o negatiu quan és dividit per zero és una fracció amb zero com denominador. Zero dividit per un nombre positiu o negatiu és o zero o expressat com fracció el zero com numerador i una quantitat finita com denominador. Zero dividit per zero és zero.

En veritat Brahmagupta està dient molt poc quan suggereix que n dividit per 0 és n/0. Clarament té un problema amb això. Certament està equivocat quan afirma que zero dividit per zero és zero. No obstant això és un intent brillant per part de la primera persona que sabem que va intentar estendre l'aritmètica als nombres negatius i el zero. En 830, al voltant de 200 anys després que Brahmagupta escrivís la seva obra mestra, Mahavira va escriure Ganita Sara Samgraha que va ser dissenyat com una actualització del llibre de Brahmagupta. Afirma correctament que:

-Un nombre multiplicat per zero és zero, i un nombre roman igual si se li resta zero. No obstant això els seus intents de millorar les afirmacions de Brahmagupta sobri la divisió per zero semblen dur-li a l'error. Escriu: -Un nombre roman sense canvi quan és dividit per zero.


Brahmagupta està dient que n dividit per zero és n/0.

Opinió Personal

Crec que hem de donar importància als primers matemàtiques de l’historia ja que si no fos per ells les matemàtiques no avencarien al nivell que avui en dia estan.

Aquest matemàtics, com Brahmagupta varen inventar o contribuir a inventar les matemàtiques mes bàsiques, que avui en dia tothom coneix sense necessitat d’estudiar però que si no fos per ells no sabrien lo que es, per exemple el nombre zero.

En quant al treball, me ha costat molt trobar informació que jo entengués, es a dir un nivell col•loquial i matemàtic que jo pogués entendre, ja que sobretot havia molta informació per als universitaris. He tengut que seleccionar la informació de moltes pàgines per tal de que me quedes un treball molt complet, però no molt complicat.



Fonts d´informació

www.matematicas.net

http://es.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta

http://almez.pntic.mec.es/agos0000/Brahmagupta.html

http://www.scribd.com/doc/439501/La-historia-de-las-Matematicas?ga_related_doc=1

www.algana.co.uk/FamousNamesSpanish/B/Brahmagupta.htm - 7k - thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html - 13k -

ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3472 - 43k -

www.misrespuestas.com/quien-invento-el-cero.html - 11k

www.astroseti.org/vernew.php?codigo=2056 -

www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-1-1-india.pdf

www.matematicas.net/paraiso/historia.php?id=in_mate

es.wikipedia.org/wiki/Teoría_de_números - 41k

http://www.tangomias.com.ar/?p=719

http://es.geocities.com/rdelgado01/histciencias/HC5_Medioevo.htm

http://matematicas.uclm.es/ita-cr/web_matematicas/trabajos/4/4_matematica_india.pdf

Eines de l'usuari
Espais de noms
Variants
Accions
Navegació
Escola
Imprimeix/exporta
Eines