Aplicacions de la trigonometria

Esquema de les principals raons trigonomètriques

La trigonometria és la branca de les matemàtiques que estudia les relacions entre els costats i els angles dels triangles. Aquesta ciència permet calcular tant la mesura dels costats com la dels angles d'un triangle.

La paraula prove del grec trigonon, triangle i metre, mesura, i significa mesura de triangles.

El consideren els pares de la trigonometria Hiparc i Ptolemeu.

Els àrabs van contribuir a difondre-la i alguns matemàtics europeus, com John Napier o Johan Müller, van plantejar noves investigacions que després van completar científics tan rellevants com Isaac Newton i Leonhard Euler.

Les raons trigonomètriques principals de la trigonometria son tres, el sinus, el cosinus, i la tangent. Però també n'hi ha d'altres com el secant, el cosecant i el cotangent.

De les quals les formules són les següents:

Hiparco de Nicea

$\frac{COposat}{Hipotenusa}\rightarrow sinus$

$\frac{CContigu}{Hipotenusa}\rightarrow cosinus$

$\frac{COposat}{CContigu}\rightarrow tangent$

Un poc d'història

La trigonometria no és una cosa nova de relativament poc anys, sinó que ja va ser investigada i utilitzada fa entre 2200 i 1600 a.C. Com per exemple:

Papir de Rhind

El primer antecedent escrit de trigonometria es troba a un papir de Rhind, escrit per Ahmés, aproximadament el 1800 a.C., transcrivint un altre de 5000 a.C. En el problema 56 es planteja calcular el "seked" de una piràmide, el seked és el nombre de pams en la base que corresponen a un colze d'altura.

En la cultura grega la trigonometria va experimentà un nou i definitiu inpuls. Aristarc de Samos ( s. III a.C.), famós per haver proposat el primer sistema heliocèntric, va mesurar la distància al Sol i a la Lluna utilitzant els triangles. Hiparc de Nicea ( s. II a.C.) va millorar les observacions de Aristarc i es considerà com l'inventor de la trigonometria.

En la cultura àrab el desenvolupament de la trigonometria deu molt la obra dels àrabs, el quals varen transmetre a Occident el llegat grec. Varen ser els primers en utilitzar la tangent. L'any 883, Al Khwarizimi va construir la primera taula de sinus. També es diu que probablement fou el primer en utilitzar el nombre 0 com a xifra.

Stonenhenge

En el conjunt megalític de Stonehenge (Gran Bretanya). L'alineació de dos grans pedres indica el dia més llarg de l'any, el solstici de estiu. El gran cercle de pedres, dividit amb 56 parts, podia utilitzar-se per a determinar la posició de la lluna al llarg de l'any i també per predir eclipsis.

A Europa es publica, en 1553 el primer tractat de trigonometria: "De trianguli omnia modi, libri V", escrit en 1464, a Köningsber, per Johann Müller, conegut com el Regiomontano.

Newton, el 1671 utilitzà les coordenades polars. La física dels fenòmens ondulatoris, com el produït en una corda que vibra, va dur a Euler al estudi de les raons trigonomètriques.

.

Aplicacions a la vida real

Les raons trigonomètriques proporcionen eines matemàtiques molt útils en el calcul d'àrees i longituds, així com per trobar distancies i angles. Per això, hi ha una gran quantitat d'aplicacions per a segons quines feines de la trigonometria i de les funcions trigonomètriques. Les primeres aplicacions de la trigonometria es van fer en els camps de la navegació, la geodèsia i l'astronomia, en les quals el principal problema era determinar una distància inaccessible, com la distància entre la Terra i la Lluna, o una distància que no podia ser mesurada de forma directa. Altres aplicacions de la trigonometria es poden trobar a la física, química i en gairebé totes les branques de l'enginyeria, sobretot en l'estudi de fenòmens periòdics, com el so o el flux de corrent altern.

Altres llocs on s'utilitzen la trigonometria: Anàlisi de mercats financers, electrònica, teoria de les probabilitats, estadística, biologia, projecció de imatge mèdica, farmàcia, química, teoria del numero, sismologia, meteorologia, oceanografia, ciències físiques, fonètica, economia, enginyeria elèctrica, la psicologia, percepció visual, enginyeria industrial, enginyeria civil, la infografia, criptografia, la geofísica, gràfics de computadora, cartografia, cristal·lografia i desenvolupament del joc.

Arquitectura

Altura d'un edifici

Els triangles són la forma més resistent per a construir degut a que divideixen el pes en les seves arestes evitant deformacions.

Per trobar l'alçada, H, d'un edifici es mesuren la distància des del punt d'observació a la base de l'edifici, D, i l'angle θ (theta) que es mostra en el dibuix. El quocient entre l'alçada H i la distància D és igual a la tangent de θ (H / D = tg θ). Per calcular H es multiplica la tangent de θ per la distància D (H = Dtgθ). L'angle es pot mesurar amb exactitud utilitzant un teodolit (instrument destinat a ubicar un objecte a certa distància mitjançant la mesura de angle respecte a l'horitzó i pel que fa als punts cardinals). Però també es pot fer un amb un transportador d'angles, cilindre buit (podria ser la part que recobreix un llapis) i una plomada (feta amb algun pes que penjarem d'un fil). Es subjecta la plomada en l'origen del transportador, després fixem el cilindre al llarg de la base del transportador i s'apunta amb la base d'aquest cap al terrat de l'edifici. L'angle cercat és 90º menys el format pel fil de la plomada.

En la arquitectura s'usen formules pitagòriques aplicades a la trigonometria:

cos2α + sin2α = 1

1 + tan2α = sec2α

1 + cot2α = csc2α

Topografia

Dibuix esquemàtic de com funciona una estació total

La topografia és la tècnica i la ciència de precisió per determinar la posició, en tres dimensions terrestres, dels punts i les distàncies i angles entre ells. Aquests punts són en general en la superfície de la Terra, i sovint són utilitzats per establir mapes de la Terra i els límits de la propietat o governamentals.

Uns dels mètodes que s'utilitzen és el mètode de la triangulació. En aquest mètode el que es fa és determinar les distàncies, alçades i direccions entre els objectes a gran distància l'un de l'altre. Aquest és el mètode principal per determinar les posicions exactes dels objectes en els mapes de grans àrees. Quan volem mesurar un terreny discontinu el podem dividir en triangles (triangulació) i després mesurar la seva àrea.

Un exemple de l'us de la triangulació és l'estació total. És un instrument utilitzat en la topografia i ajuda a poder determinar angles i distàncies de l'instrument als punts que s'examinaran. Amb l'ajuda de la trigonometria i la triangulació, els angles i les distàncies es poden utilitzar per a calcular coordenades de les posicions reals (X, I, i Z o el northing, easting i elevació) de punts examinats, o de la posició de l'instrument de punts sabuts, en termes absoluts. Les dades poden ser descarregat del teodolit a una computadora i a un ús externs el programari generarà a mapa de l'àrea examinada.

Per a topografiar el terra, els topògrafs la divideixen en triangles i marquen cada angle amb un «punt de referència», que avui dia és una placa rodona fixada en el sòl amb un forat en el centre, sobre el qual posen les seves varetes. Després de mesurar la base, el topógraf medirà els angles que es formen amb el punt C i usar les funcions trigonométricas per a calcular les distàncies AC i BC. Aquestes poden servir com base de 2 nous triangles, que al seu torn subministraran bases per a dues més, i d'aquesta forma construirà més i més triangles fins que es cobreixi la terra al complet amb una xarxa que té distàncies conegudes.

Posteriorment es pot afegir una xarxa secundària, subdividint els triangles grans i marcant els seus punts amb estàques de ferro, que proporcionaran distàncies conegudes addicionals en les quals es poden basar els mapes o els plànols.

El teodòlit

El teodolit és un aparell òptic, no elèctric, que s'usa en la topografia, és similar a una càmera fotogràfica antiga. Recolzant-lo sobre un trípode anivellat, que és un accessori apart, serveix per mesurar el terreny. Gràcies a aquest instrument podem mesurar un objecte, a certa distancia, mitjançant la mesura dels angles respecte a l'horitzó i els punts cardinals.

.

Astronomia

L'astronomia és la ciència que estudia l'univers i els astres, a partir de la informació que ens arriba d'ells a través de la radiació electromagnètica, tant pel que fa a la posició i moviment en l'esfera celeste com pel que fa a la seva natura, estructura i evolució.

La trigonometria s'aplica en astronomia per mesurar distàncies a estrelles i en el sistema de navegació per satèl·lits per localitzar punts sobre la Terra.

La trigonometria va permetre a Tolomeo saber el radi de la Terra mitjançant l'ombra que projectava un pal d'electricitat, així mateix va permetre determinar la distància a la lluna i algunes estrelles properes mitjançant el seu angle de paleatge.

Pàrsec

A la astronomia totes les distancies es mesuren amb nombres molt grossos, com anys llum, parsecs i mesures similars. Un parsec (abreviat pc) és una unitat de longitud usada en astronomia. Significa "paral·laxi d'un arc de segon". És calcula d'aquesta forma. Si la velocitat de la llum es = 300000 Km/s i el temps que tarda en arribar la llum des de el sol = 8.19 minuts = 499 segons.

Ja que la llum recorre 300,000 Km en un segon si ho multiplicam per 60 per saber el que recorre en un minut 18,000,000Km, per 60 per saber el que recorre en una hora 1,080,000,000 Km, per 24 per saber el que recorre en un dia 25,920,000,000 Km = 2,592x10^10 i finalment per 365 per saber el que recorre en un any 9,460,800,000,000 Km que és el mateix que 9,4608x10^12Km, això és un any-llum. 1any-llum=9,460,800,000,000 Km= 9,4608x10^12 Km. Ja que la llum recorre 300,000 Km en un segon si ho multiplicam per 499 segons que és el que tarda en arribar la llum del sol a la terra ens dona que de la terra al sol hi ha 149,700,000 Km. Si sabem que la tangent d'un angle agut és la raó entre el catet oposat i el catet contigu a aquest angle.

Exemple

$\tan B=\frac{Catet Oposat}{Catet Contigu}=\frac{a}{b}$ $\tan=\frac{150000000Km}{Parsec}\Longrightarrow$

Així doncs el catet oposat seria la distancia terra-sol, el catet contigu seria el parsec i la tangent seria un segon de grau. Així doncs si ara dividim el parsec entre1 any-llum ens donara quants d'anys llum és un parsec.

Per tant deduïm que un parsec es igual a 3,26 anys llum.

Nàutica

La navegació marítima és l'art i la ciència de manar una embarcació del punt de salpar al punt d'arribar, eficientment i amb responsabilitat. És art per la destresa que ha de tenir el navegant per a sortejar els perills de la navegació, i és ciència perquè es basa en coneixements físics, matemàtics, oceanogràfics, cartogràfics, astronòmics, etc. La navegació pot ser superficial o submarina.

Podem prendre els anglès de elevacions sobre l'horitzó de dues muntanyes les elevacions de les quals sobre el nivell del mar figuren en el mapa, usant la trigonometria elemental. Per calcular la distancia horitzontal a la que ens trobam de cada un dels objectes observats, basta amb tresar dues circumferències sobre el mapa, centrades en els punts observats, i amb radi iguals a les distancies calculades. El punt a on ens trobam es un dels punts de tall de la circumferència.

Per a poder manar un vaixell fa falta un títol, i aquest implica tenir una sèries de coneixements bàsics de la trigonometria esfèrica.

Per calcular els angles en la nàutica s'utilitzen diversos instruments:

Octant: És un instrument de navegació antic, predecessor del sextant, que permetia mesurar l'altura d'un astre sobre l'horitzó. La seva obertura angular és de 40º (permetent doncs mesurar l'altura fins a 80º), mentre que la del sextant és de 60º; d'aquestes darreres xifres provenen els seus noms.

Sextant: És l'instrument que permet mesurar angles entre dos objectes tals com dos punts d'una costa o un astre. Coneixent l'elevació del Sol i l'hora del dia es pot determinar la latitud a la qual es troba l'observador. Aquesta determinació s'efectua amb bastant precisió mitjançant càlculs matemàtics senzills d'aplicar. El sextant va reemplaçar l'octant per tenir major abast, ha estat durant diversos segles de gran importància en la navegació marítima, fins que als últims decennis del segle XX es van imposar sistemes més moderns, sobretot la determinació de la posició mitjançant satèl·lit.

Son gairebé iguals, el que els diferencia és la seva capacitat d'abast.

Un triangle esferic

La trigonometria esfèrica és un conjunt de relacions anàlogues a les de la trigonometria plana, però en aquest cas, amb angles i distàncies disposades sobre una esfera. En la trigonometria esfèrica les regles habituals de la trigonometria plana ja no seran vàlides. Les dades que es podran aconseguir, les aconseguim tallant l'esfera en diferents triangles plans de manera que n'arribara a haver molts. En el cas de la nàutica s'usa molt.

Fórmules fonamentals

$\ Alpha \!: Angle format entre els arcs AC i AB$

$\ Beta \!: Angle format entre els arcs AB i BC$

$\ Gamma \!: Angle format entre els arcs AC i BC$

Fórmula del cosinus:

$\ Cos CB = \ cos AC \ cos AB + (\ rm (sin)) AC (\ rm (sin)) AB \ cos \ alpha \!$

Fórmula del sinus:

$\ Frac ((\ rm (sin)) CB) ((\ rm (sin)) \ alpha) = \ frac ((\ rm (sin)) AC) ((\ rm (sin)) \ beta) = \ frac ((\ rm (sin)) AB) ((\ rm (sin)) \ gamma)$

Els pits dels costats són proporcionals als pits dels rectangles oposats. Fórmula de la cotangent

La fórmula de la cotangent també s'anomena fórmula dels elements consecutius. Veure en la figura dels següents elements consecutius:

$angle \ alpha \!; costat AB; angle \ beta \!; costat BC$. $\ Cos \ beta \ cos AB = (\ rm (sin)) \ beta \ cot \ alpha \! - (\ Rm (sin)) AB \ cot CB$

Geodèsia

El terme Geodèsia, del grec γη ("terra") i δαιζω ("dividir") va ser usat inicialment per Aristòtil (384-322 aC) i pot significar, tant "divisions geogràfiques de la terra", com també l'acte de "dividir la terra", per exemple, entre propietaris.

La Geodèsia és, al mateix temps, una branca de les Geociències i una Enginyeria. Tracta de l'aixecament i de la representació de la forma i de la superfície de la Terra, global i parcial, amb les seves formes naturals i artificials.

La Geodèsia també és usada en matemàtiques per a la mesura i el càlcul sobre superfícies corbes. Es fan servir mètodes semblants a aquells usats en la superfície corba de la Terra.

En el cas de la geometria plana (vàlid per a les àrees petites a la superfície de la Terra), les solucions es redueixen a la trigonometria . En l'esfera, la solució és bastant més complexa, per exemple, en el problema invers els azimut seran diferents entre els dos punts extrems de la connexió de gran cercle , és a dir, la línia geodèsica.

Punt de posicionament, és la determinació de les coordenades d'un punt sobre la terra, al mar, o en l'espai respecte a un sistema de coordenades. La posició del punt es resol mitjançant el càlcul a partir de mesures que uneix les posicions conegudes dels punts terrestres o extraterrestres amb la posició terrestre desconeguda. Això pot implicar transformacions entre dos o més astronòmics i terrestres sistemes de coordenades.

Els punts coneguts utilitzats per posar el punt pot ser triangulació punts d'una xarxa d'ordre superior, o GPS satèl·lits. Tradicionalment, una jerarquia de xarxes s'ha construït per a permetre el posicionament de punt dins d'un país. El millor en la jerarquia de les xarxes, és la triangulació.

Hi ha dos tipus de sistemes de coordenades que s'utilitzen en l'avió:

1. Plànol-polar, on els punts en un plànol es defineix per una distància s des d'un punt especificat al llarg d'un llamp amb un α adreça especificada pel que fa a una línia de base o l'eix.

2. Rectangular, els punts es defineixen per les distàncies a partir de dos eixos perpendiculars anomenats x i y. Coordenades rectangulars en el plànol es pot utilitzar intuïtivament pel que fa a la pròpia ubicació actual, en aquest cas l'eix x assenyalarà el local del Nord.

Un exemple d'aquesta projecció és l'UTM ( Universal Transversa de Mercator ). En el plànol del mapa, tenim les coordenades rectangulars x i y. En aquest cas l'adreça del Nord és utilitzada com referència el mapa del Nord, no el local del Nord. La diferència entre els dos es diu convergència meridiana.

És bastant fàcil de "traduir" entre les coordenades polars i rectangulars en el plànol: que, com dalt, direcció i distància que α i s respectivament, llavors tenim:

$\begin{matrix} x &=& s \cos \alpha\\ y &=& s \sin \alpha \end{matrix}$

La transformació inversa es igual a:

$\begin{matrix} s &=& \sqrt{x^2 + y^2}\\ \alpha &=& \arctan{(y/x)}. \end{matrix}$

Musical

Un diapasó

En la música, encara que pareixi estrany, s'usa inconscientment la trigonometria,un clar exemple és el diapasó. El diapasó és un instrument musical que, s'hi a un dels seus extrems es lliga una agulla (la punta de la qual descansa sobre una placa de cera que s'endureix). Es fa vibrar el diapasó, es desplaça la placa amb velocitat constant en adreça perpendicular i: la punta de l'agulla traçarà la corba del sinus. El diapasó ha produït, per descomptat, un so, una nota pura.

La seva vibració va determinar una ona sonora en l'aire adjacent. És a dir, en el seu anar i venir es comunica amb l'aire que vibra per una banda a una altra amb moviment harmònic simple. Si novament, l'agulla passa pel solc que va deixar en la placa, l'ondulació de la corba, produïx una vibració "el so torna a sorgir". Indubtablement de la nit al dia no ens anem a convertir en compositors, però sí podem estudiar la corba.

Quan nosaltres feim sonar el diapasó, s'emet una ona sonora la qual té forma de

Les funcions trigonomètriques van permetre la real incursió de l'home en la naturalesa dels sons i permetre que el seu coneixement fos utilitzat en el disseny d'aparells com el telèfon, el fonògraf, la ràdio, ... etc. Inicialment l'estudi matemàtic dels sons, no es va realitzar amb l'aplicació de les funcions trigonomètriques.

Principis de la acustica

En el segle 6 aC, Pitàgores volia saber per quin alguns intervals semblava més belles que unes altres, i va trobar respostes en termes de coeficients numèrics que representen l'harmònica sèries harmòniques en una corda. Va observar que quan les longituds de les cordes vibrants es poden expressar com quocients d'enters (per exemple, 2 a 3, 3 a 4), els tons que es produeixin seran harmoniosos. Aristòtil (384-322 a. C.) va entendre que el so consistia en contraccions i expansions de l'aire "caient i copejant l'aire que està al costat d'ella ...", una bona expressió de la naturalesa d'ona de moviment. En al voltant del 20 a. C., l'arquitecte i enginyer romà Vitruvio, va escriure un tractat sobre les propietats acústiques dels teatres, incloent temes com la interferència, els ecos, i de la reverberació. Això va ser el començament de l'acústica arquitectònica .

Galileu (1564-1642) i Mersenne (1588-1648) va descobrir de forma independent les lleis de la corda vibrant. Galileu va escriure "Les ones són produïdes per les vibracions d'un cos sonor, que es va estendre per l'aire, duent al timpà de l'oïda un estimul que la ment interpreta com so ". Experiments de la velocitat del so en l'aire es van portar a terme amb èxit entre 1630 i 1680 per una sèrie d'investigadors, destacant Mersenne. Mentrestant, Newton (1642-1727) va obtenir la fórmula per a la velocitat d'ona en sòlids, la pedra angular de la física acústica.

Òptica

C1, és el so incident; C2, el refractat

L'òptica és la branca de la física que estudia el comportament i les propietats de la llum, incloent les seves interaccions amb la matèria i la construcció d'instruments que utilitzen o detectar la mateixa.

L'òptica geomètrica s'ocupa de l'estudi dels fenòmens òptics que poden estudiar-se sense fer referencia a la naturalesa de la llum. El seu objectiu principal és determinar les trajectòries de la llum a través de diversos medis. Aquests estudis parteixen d'una seria de principis bàsics:

- La propagació de la llum és rectilínia.

- Els diversos raigs que formen un feix de llum són independents entre si.

- La trajectòria que segueix un raig de llum entre dos punts qualsevol és tal que el temps emprat en recórrer és màxim o mínim respecte al temps necessari per recórrer altres trajectòries entre aquests dos punts (principi de Fermat) .

La refracció és el procés pel qual, quan una ona incideix sobre la superfície de separació entre dos medis, una part de la seva energia es transmet al segon medi canviant la seva direcció de propagació.

La segona llei de refracció, també anomenada llei de Snell, afirma que el producte de l'index de refracció del primer mitja i el sinus de l'angle d'incidència d'un raig es igual al producte de l'index de refracció del segon mitja i el sinus de l'angle de refracció.

Aquesta mateixa llei també explica alguns fets, com per exemple el perquè de que quan submergim un objecte dins aigua, no completament, veim com si estigués quebrat o romput.

Exemple de la refracció

La velocitat de la llum en l'aigua és menor que la velocitat de la llum en l'aire, concretament 300.000 km/s i 226.000 km/s aproximadament en l'aigua.

El que succeïx és que quan el llamp passa d'un mitjà a un altre i en el primer la velocitat de la llum és menor que en el segon, llavors el llamp de llum s'allunya de la normal al passar al segon mig. La normal a la superfície és una línia perpendicular a la superfície de separació que en la figura de baix està dibuixada amb una línia vermella.

L'angle que forma el llamp incident amb la normal es diu i, mentre que l'angle que forma el llamp refractat amb la normal es diu r, com es mostra en la figura.

La Llei de Snell estableix una relació entre l'angle d'incidència, l'angle de refracció, v1 i v2 , de la següent manera:

v₂sini = v₂sinr

La qual es formula com: n₁sini = n₂sinr

Jocs de taula

Exemple d'una tirada

En els jocs de taula també s'usa la trigonometria, un bon exemple és el billar.

En primer lloc, cal dir que el billar és un esport tècnic i científic. Des del punt de vista científic hem d'aplicar física, quantitat de boles, rotació, moviment, velocitat, que són elements bàsics que un ha de manejar per a poder fer una bona execució

L'imatge mostra un clar exemple de per que els jugadors de billar utilitzen la trigonometria, encara que no sigui exacte. Ells, amb la seva imaginació, a cada tirada miren de tirar amb un angle i una potència específica, per tal d'encertar en el forat.

.

Enginyeria mecànica

L'enginyeria és molt àmplia hi ha diversos sectors: química, mecànica, organització industrial, elèctrica, electrònica, automàtica, camins, naval, construcció, etc. Per a un enginyer és bàsic saber de trigonometria, ja que per mitjà d'això, a part de resoldre equacions, també es poden trobar dimensions d'una peça.

Els sectors on es més utilitzada són:

En l'enginyeria mecànica : s'utilitza per a projectar forces i el disseny i mesurament de peces, en sèries i senyals.

En l'enginyeria quimica: s'utilitza en els gradients transversals de velocitats en liquids newtonians per a determinar la viscocitat d'un fluid en mecànica de fluids

En l'enginyeria electrònica: s'utilitzen funcions trigonomètriques per a conèixer el comportament de sèries i de senyals

En l'enginyeria industrial i en sistemes computacionals: s'utilitzen en el primer any de la carrera, quan se'ls pot dir "enginyeries" a aquestes carreres.

En l'enginyeria mecatrónica: en el mateix que mecànica i electrònica.